סכום האיברים במקומות הזוגייםסדרות 571 · שיעור 20
סדרות · שאלון 571
שיעור 20: סכום האיברים במקומות הזוגיים
פרק 5 – סדרה הנדסית אין־סופית
1נוסח השאלה
2סעיף א – סכום הסדרה
3סעיף ב – האיברים במקומות הזוגיים
📄 נוסח השאלה
בסדרה הנדסית אין־סופית, סכום האיבר הראשון והאיבר החמישי הוא 5,440. האיבר הראשון גדול מהאיבר הרביעי פי 8.
מצאו את: א. סכום הסדרה. ב. סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה.
סעיף א – סכום הסדרה
"האיבר הראשון גדול מהרביעי פי 8": a1 = 8a4.
a1 = 8 · a1 · q3
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
מחלקים ב־a1 (שונה מאפס):
1 = 8q3
q3 = 18
q = 12
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
סעיף א – סכום הסדרה · המשך
q = 12
"סכום הראשון והחמישי 5,440":
a1 + a1 · q4 = 5,440
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
a1(1 + 116) = 5,440
a1 · 1716 = 5,440
a1 = 5,440 · 1617 = 320 · 16 = 5,120
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
סעיף א – סכום הסדרה · המשך
a1 = 5,440 · 1617 = 320 · 16 = 5,120
q = 12 בין −1 ל־1, לכן יש סכום:
S = 5,1201 − 12 = 5,120 · 2 = 10,240
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
✅ פתרון סופי: S = 10,240
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , −1 < q < 1
סעיף ב – האיברים במקומות הזוגיים
האיברים a2 , a4 , a6 , ...: מדלגים כל פעם על איבר, כלומר כופלים פעמיים ב־q. לכן הם סדרה הנדסית אין־סופית עם מנה q2.
a2 = 5,120 · 12 = 2,560
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
q2 = (12)2 = 14
S = 2,5601 − 14 = 2,56034 = 2,560 · 43 = 10,2403
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
בקירוב: 3,413.33
✅ פתרון סופי: 10,2403 ≈ 3,413.33
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , −1 < q < 1
📌 סיכום התשובות
סעיף א
10,240
סעיף ב
10,2403
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא